Ecuación - o que é? Definición, exemplos

No curso da escola de matemáticas, o neno primeiro escoita o termo "ecuación". Que é, tentar entender xuntos. Neste artigo, imos considerar os tipos e métodos de solución.

Matemáticas. ecuación

Para comezar a ofrecer para xestionar a propia noción do que é? Como afirmara en moitos libros de texto de matemáticas, a ecuación - e algunhas das expresións entre as que ten que definitivamente sinal de igualdade. Nestas expresións, hai cartas, a variable chamada, o valor do que é e debe ser atopados.

¿Que é unha variable? Este atributo de sistema que cambia o seu valor. Un bo exemplo das variables son:

• temperatura do aire;
• crecemento do neno;
• peso e así por diante.

En matemática, son designados por letras, como x, a, b, c ... Normalmente a tarefa de matemáticas é a seguinte: atopar a ecuación de valor. Isto significa que ten que atopar o valor destas variables.

especies

A ecuación (é dicir, que foi discutido no apartado anterior) pode ser do seguinte xeito:

• lineal;
• cadrado;
• cúbico;
• alxébrica;
• transcendental.

Para saber máis sobre todo tipo, considerada cada un por separado.

ecuación lineal

Este é o primeiro tipo, que coñecementos escolares. Eles resolto moi rapidamente e facilmente. Así, a ecuación lineal, o que é? Esta expresión da forma: s = c. Polo tanto, non moi clara, polo que damos algúns exemplos: 2 = 26; 5x = 40; 1.2 x = 6.

Imos considerar os exemplos de ecuacións. Para iso, cómpre recoller todos os datos coñecidos, por unha banda, e, descoñecido para o outro: x = 26/2; x = 40/5; x = 6 / 1,2. Foron utilizadas as regras elementais de matemáticas: a * c = E, este C = e / a; A = E / S. De xeito completar a solución da ecuación, que executan unha acción (neste caso, a división) x = 13; x = 8; x = 5. Estes foron os exemplos en multiplicación agora visible na subtracción e adición: x + 3 = 9; 5-10X = 15. datos coñecido é trasladado a unha dirección: x = 9-3; x = 20/10. Realizamos última acción: x = 6; x = 2.

Tamén son posibles variantes de ecuacións lineais, en que máis que unha variable: 2x-2y = 4. Co fin de resolver, cómpre engadir cada 2a parte, temos 2x-2y + 2y = 4-2u, como vimos, na parte esquerda do signo de igualdade é -2u + 2y reducida, así, estivemos con: 2x = 4 -2u. A división último paso cada parte dos dous, obtemos a resposta: X é dous menos y.

Problemas coas ecuacións son atopados ata o papiro matemático de Rhind. Este é un dos problemas: o número ea cuarta parte da un total de 15. Para solucionar este problema, escribir a seguinte ecuación: X máis dun cuarto X é igual a quince anos. Vemos outro exemplo de unha ecuación lineal de solucións totais, obtemos a resposta: x = 12. Pero este problema pode ser resolto doutro xeito, é dicir, exipcio, ou como se chama dun xeito diferente, unha forma de especulación. No papiro utilizada a seguinte solución: levar de catro e un cuarto del, que é un. En suma, eles dan cinco, quince están agora a ser dividido pola suma, temos tres, a última acción de tres multiplicado por catro. Nós obter a resposta: 12. Por que estamos a tratar con quince dividido por cinco? Entón, nós descubrir cantas veces quince, é dicir, o resultado que necesitamos para obter polo menos cinco. Deste xeito, resolvemos os problemas na Idade Media, tornouse a ser chamado o método de posición falsa.

ecuacións de segundo grao

Ademais dos exemplos discutidos previamente, hai outros. Cales? ecuación cuadrática, o que é? Teñen a forma ax ² + bx + c = 0. Para resolvelos los, ten que para familiarizado con algúns dos conceptos e regras.

En primeiro lugar, ten que atopar o discriminante da fórmula: b ² -4ac. Hai tres xeitos de resolver o resultado:

• discriminante é maior que cero;
• menos que cero;
• é cero.

Na primeira versión, podemos obter resposta de dúas raíces, as cales están de acordo coa fórmula: + B unha raíz da discriminante dividido por dúas veces o primeiro coeficiente, é dicir, 2a.

No segundo caso, as raíces da ecuación alí. O terceiro caso é a raíz da fórmula: B / 2a.

Considere o exemplo dunha ecuación cuadrática para un coñecemento máis detallado: tres X ao cadrado menos catorce X menos cinco é igual a cero. Para comezar, como escrito anterior, mirando discriminante, no noso caso é igual a 256. Nótese que o número resultante é maior que cero, polo tanto, hai que obter unha resposta que consiste en dúas raíces. Substituto obtido na fórmula discriminante para atopar as raíces. Como resultado, temos: X é igual a cinco e menos dun terzo.

casos especiais en ecuacións de segundo grao

Estes son exemplos en que algúns dos valores so cero (a, b ou c), e posiblemente máis.

Por exemplo, considere a seguinte ecuación, que é un cadrado, dous X ao cadrado é igual a cero, aquí vemos que B e C son iguais a cero. Imos tentar resolver-lo, para que ambos os dous lados dividir por dous, temos: x ² = 0. Como resultado, obtemos x = 0.

Outro caso é 16x ² = 0 -9. Aquí, só o b = 0. Nós resolver a ecuación, o coeficiente de transporte gratuíto para o lado dereito: 16 x ² = 9, están cada parte está dividida por dezaseis x ² = 9/16. Unha vez que temos x ao cadrado, a raíz cadrada de 9/16 pode ser negativo ou positivo. A resposta é escrita do seguinte xeito: X é igual a máis / menos tres cuartos.

Posible e esta resposta, como as raíces da ecuación non. Vexamos o seguinte exemplo: 5 × ² + 80 = 0, onde b = 0. Co fin de resolver o termo constante espalla para o lado dereito, tras estas etapas, temos: 5x ² = -80, e agora cada parte está dividida por cinco: x ² = menos dezaseis anos. Se calquera número ao cadrado, o valor negativo que temos. Nesta nosa resposta é: as raíces da ecuación alí.

trinômio descomposición

por ecuacións de segundo grao tarefa pode parecer doutra maneira: para descompoñer o trinomio cuadrática en factores. Isto pódese facer a través da seguinte fórmula: a (x-x ₁₎ (X-X _2). Para iso, como noutra forma de realización de referencia, é necesario atopar un discriminante.

Considero o seguinte exemplo: 3x ² -14h-5, descompoñer no trinomio mnozheteli. Atopar o discriminante usando a fórmula xa coñecida, é a que é 256. Agora conta que 256 é maior que cero, polo tanto, a ecuación terá dúas raíces. Atopalos, como no parágrafo anterior, temos: x = menos cinco e un terzo. Utilizar a fórmula para o trinomio descomposición en mnozheteli 3 (X-5) (x + 1/3). No segundo soporte temos un signo igual, porque a fórmula vale signo menos, ea raíz tamén é negativo, utilizando un coñecemento básico de matemáticas, por valor temos un sinal de máis. Para simplificar, nós multiplicamos o primeiro eo terceiro termo da ecuación para se librar de fraccións: (x-5) (x + 1).

Ecuacións redutíveis ao cadrado

Nesta sección, imos aprender a resolver ecuacións complexas. Comezamos inmediatamente cun exemplo:

(X ² - 2x) ^2-2 (x ² - 2x) - 3 = 0. Podemos destacar elementos recorrentes: (x ² - 2x), cómodo para nós de solucións para substituíla por outra variable, e despois resolver a ecuación cuadrática ordinaria inmediatamente teña en conta que nesta tarefa obtemos catro raíces, non debe asustalos lo. a variable de repetición e denotan. Comezamos a ² 2A-3 = 0. Noso seguinte paso - é atopar unha nova ecuación discriminante. Obtemos 16, atopamos dúas raíces: menos un e tres. Recordamos que fixemos a substitución, substitúe estes valores, como resultado, temos a ecuación: x ² - 2x = -1; x ² - 2x = 3. Resolvelos los na primeira resposta: x é un, a segunda: x é menos un e tres. Escriba a resposta do seguinte xeito: máis / menos un e tres. Normalmente, a resposta está escrita en orde crecente.

cúbico

Imos considerar outra opción. Trátase de ecuacións cúbicas. Teñen a forma: Machado ³ + bx ² + cx + d = 0. Exemplos de ecuacións que consideramos máis lonxe, e para comezar con algo de teoría. Poden ter tres raíces, como hai unha fórmula para atopar o discriminante dunha ecuación cúbica.

Considerar este exemplo: 3 + ³ 4 ² + 2 = 0. Como solucionar isto? Para iso, nós só aproveitar os soportes x: x ^{(3 + 2 4 + 2)} = 0 . Todo o que temos que facer - é calcular as raíces da ecuación entre parénteses. O discriminante da ecuación cuadrática en parénteses é menor que cero, nesta base, ten unha expresión de raíz: x = 0.

Álxebra. ecuación

Ir á seguinte vista. Agora imos considerar brevemente a ecuación alxébrica. Unha das tarefas é como segue: o método de agrupación estenderse sobre mnozheteli 3 ⁴ 2 + ³ + 8 × ² + 2 + 5. O método máis conveniente é o seguinte grupo: (3 + ⁴ 3 ²⁾ + (2 x ³ + 2) + (5 x ² 5). Teña en conta que o 8 × ² da primeira expresión que presentamos como a suma de 3 e ² 5x ^2. Agora imos levar a cada un dos soportes 3 factor común ² (x2 + 1) 2 + (x ² + 1) 5 ⁽² x 1). Vemos que temos un factor común: X ao cadrado máis, para facelo fóra dos parénteses: (1 x ^{2) (3 2 + 2 +} 5) . Ademais descomposición non é posible, xa que ambas as ecuacións teñen discriminante negativo.

ecuación transcendente

Ofrece-se para xestionar o seguinte tipo. Esta ecuación, que conteñen funcións transcendentes, en particular, logarmica, exponencial ou trigonométrico. Exemplos: 6sin ² x + TGX-1 = 0, x + 5lgx = 3 e así por diante. Como son resoltos, vai aprender trigonometría.

función

A fase final do concepto, considerada a función ecuación. A diferenza das versións anteriores, deste tipo non poden ser resoltos, eo gráfico baseado nela. Por esta ecuación é a pena analizar, para atopar todos os puntos necesarios para a construción, calcular os puntos de máximo e mínimo.