Transformada de Fourier. Transformación rápida de Fourier. Transformada discreta de Fourier

A transformada de Fourier é unha transformación que asocia funcións cunha certa variable real. Esta operación realízase cada vez que escoitamos diferentes sons. O oído produce unha "computación" automática, que a nosa conciencia é capaz de realizar só despois de estudar a sección correspondente das matemáticas superiores. O órgano humano de audición constrúe unha transformación, como resultado de que o son (o movemento vibratorio das partículas condicionadas nun medio elástico que se propaga nunha forma de onda nun medio sólido, líquido ou gaseoso) vénse como un espectro de sucesivos niveis de sonoridade de tons de diferentes alturas. Despois diso, o cerebro converte esta información nun son familiar.

Transformada matemática de Fourier

A transformación das ondas sonoras ou doutros procesos vibracionales (de radiación lixeira e marea oceánica e ciclos de actividade estelar ou solar) tamén se pode realizar mediante métodos matemáticos. Entón, utilizando estas técnicas, pode expandir as funcións representando os procesos oscilantes mediante un conxunto de compoñentes sinusoidales, é dicir, curvas tipo onda que se desprazan dun mínimo a un máximo, de novo ao mínimo, como unha onda marítima. A transformada de Fourier é unha transformación cuxa función describe a fase ou amplitude de cada sinusoide correspondente a unha frecuencia particular. A fase é o punto de partida da curva, ea amplitude é a súa altura.

A transformada de Fourier (exemplos móstranse na foto) é unha ferramenta moi potente que se usa en diversos campos da ciencia. Nalgúns casos, úsase como medio para resolver ecuacións bastante complicadas que describen os procesos dinámicos que se producen baixo a influencia da luz, a calor ou a enerxía eléctrica. Noutros casos, permítenos determinar os compoñentes habituais en sinais vibratorios complexos, grazas a iso, é posible interpretar correctamente varias observacións experimentais en química, medicina e astronomía.

Antecedentes históricos

A primeira persoa a aplicar este método foi o matemático francés Jean Baptiste Fourier. A transformación, posteriormente nomeada despois, utilizouse originalmente para describir o mecanismo de condutividade térmica. Fourier pasou toda a súa vida adulta estudando as propiedades da calor. Fixo unha gran contribución á teoría matemática de determinar as raíces das ecuacións alxebricas. Fourier foi profesor de análise na Escola Politécnica, secretario do Instituto de Egiptología, estaba no servizo imperial, que se distinguiu durante a construción do camiño cara a Turín (baixo o seu liderado, se esgotaron máis de 80 mil quilómetros cadrados de pantanos de malaria). Non obstante, toda esta actividade activa non impediu que o científico faga análises matemáticas. En 1802 derivou unha ecuación que describe a propagación da calor en sólidos. En 1807, o científico descubriu un método para resolver esta ecuación, que se chamou a "transformada de Fourier".

Análise de condutividade térmica

O científico utilizou un método matemático para describir o mecanismo de condutividade térmica. Un exemplo conveniente, no cal non hai dificultades co cálculo, é a propagación da enerxía térmica ao longo dun anel de ferro inmerso nunha parte nun incendio. Para realizar os experimentos, Fourier quentou a parte vermella deste anel e enterrouna en area fina. Despois mediu a temperatura do lado oposto. Inicialmente, a distribución de calor é irregular: unha parte do anel é fría ea outra está quente, pódese observar un forte gradiente de temperatura entre estas zonas. Non obstante, no proceso de propagación do calor sobre toda a superficie do metal, faise máis uniforme. Entón, pronto este proceso toma a forma dun sinusoide. Ao principio o gráfico aumenta gradualmente e tamén diminúe suavemente, exactamente segundo as leis do cambio na función coseno ou seno. A onda gradualmente achatada e, como resultado, a temperatura pasa a ser a mesma sobre toda a superficie do anel.

O autor deste método suxeriu que a distribución irregular inicial pode descompoñerse completamente nunha serie de sinusoides elementais. Cada un deles terá a súa propia fase (posición inicial) ea súa propia temperatura máxima. Neste caso, cada compoñente cambia dun mínimo a un máximo e de volta nunha revolución completa ao redor do anel un número enteiro de veces. Un compoñente cun período chamouse o armónico básico e un valor con dous ou máis períodos é o segundo e así por diante. Así, a función matemática que describe a temperatura máxima, fase ou posición chámase transformada de Fourier da función de distribución. O científico reduciu o compoñente único, que é difícil de describir matematicamente, a unha ferramenta que é sinxela de usar -cenosina e filas sinusas, que xuntos proporcionan a distribución inicial.

A esencia da análise

Aplicando esta análise á transformación da propagación do calor a través dun obxecto sólido que ten unha forma anular, o matemático considerou que o aumento dos períodos do compoñente sinusoidal levaría á súa rápida decadencia. Esta é unha boa traza sobre os harmónicos fundamentais e segundo. Nesta última, a temperatura alcanza os valores máximos e mínimos dúas veces nun pase e na primeira unha soa vez. Resulta que a distancia superada polo calor no segundo harmónico será a metade da do principal. Ademais, o gradiente na segunda tamén será dúas veces maior que o primeiro. En consecuencia, dado que un fluxo de calor máis intenso pasa a maior distancia, o armónico dado caerá catro veces máis rápido que o fundamental, en función do tempo. No seguinte, este proceso terá lugar aínda máis rápido. O matemático cría que este método permítenos calcular o proceso da distribución de temperatura inicial ao longo do tempo.

Desafío aos contemporáneos

O algoritmo de transformación de Fourier converteuse nun reto para os fundamentos teóricos das matemáticas da época. A principios do século XIX, os científicos máis destacados, incluíndo Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre e Bio, non aceptaron a súa afirmación de que a distribución de temperatura inicial descomponse en compoñentes en forma de harmónicos fundamentais e frecuencias máis altas. Non obstante, a Academia de Ciencias non puido ignorar os resultados obtidos polo matemático e outorgoulle un premio á teoría das leis de condución de calor, ademais de comparalo cos experimentos físicos. No enfoque de Fourier, a principal obxección foi o feito de que a función discontinua está representada pola suma de varias funcións sinusoidales que son continuas. Despois de todo, describen as liñas rectas e curvas rompedoras. Os contemporáneos do científico nunca atoparon unha situación similar, cando as funcións discontinuas foron descritas por unha combinación de continuas, como unha cuadrática, lineal, sinusoidal ou exponencial. No caso de que o matemático tivese razón nas súas afirmacións, a suma dunha serie infinita de función trigonométrica debe ser reducida a un paso exacto. Naquel momento, tal afirmación parecía absurda. Non obstante, a pesar das dúbidas, algúns investigadores (por exemplo Claude Navier, Sophie Germain) expandiron o alcance da investigación e trasladáronos máis aló da análise da distribución de enerxía térmica. Mentres tanto, os matemáticos continuaron a sufrir a cuestión de se a suma de varias funcións sinusoidales pode reducirse a unha representación exacta dun discontinuo.

200 anos de historia

Esta teoría desenvolveuse ao longo de dous séculos, hoxe foi finalmente formado. Coa súa axuda, as funcións espaciais ou temporais divídense en compoñentes sinusoidales, que teñen a súa propia frecuencia, fase e amplitude. Esta transformación obtense por dous métodos matemáticos distintos. O primeiro deles aplícase no caso cando a función inicial é continua, ea segunda, no caso de que estea representado por un conxunto de discretos cambios individuais. Se a expresión obtense a partir de valores determinados por intervalos discretos, pode dividirse en varias expresións sinusoidales con frecuencias discretas - desde a frecuencia máis baixa e dúas veces, tres veces, e así por diante, superior á fundamental. Este valor adoita denominarse series Fourier. Se a expresión inicial dálle un valor para cada número real, entón pode descompoñerse en varias sinusoides todas as frecuencias posibles. Xeralmente chámase integral de Fourier, ea solución implica as transformacións integrais da función. Independentemente do método de obtención da transformación, débense especificar dous números para cada frecuencia: amplitude e frecuencia. Estes valores expresanse como un único número complexo. A teoría das expresións de variables complexas en conxunto coa transformada de Fourier permitiunos realizar cálculos para a construción de varios circuítos eléctricos, a análise de oscilacións mecánicas, o estudo do mecanismo de propagación das ondas, etc.

Fourier transformouse hoxe

Hoxe en día o estudo deste proceso reduce basicamente a atopar métodos efectivos de transición dunha función á súa forma transformada e cara atrás. Esta solución chámase transformada directa e inversa de Fourier. Que significa isto? Para determinar a integral e realizar unha transformación directa de Fourier, pódese empregar métodos matemáticos ou mesmo analíticos. A pesar do feito de que ao usalos na práctica hai certas dificultades, a maioría das integrales xa se atoparon e ingresaron nos libros de referencia matemáticos. Usando métodos numéricos, é posible calcular expresións, cuxa forma está baseada en datos experimentais, ou funcións cuxas integrais están ausentes nas táboas e son difíciles de presentar en forma analítica.

Antes do advenimiento dos cálculos da tecnoloxía informática destas transformacións eran moi tediosas, requirían a execución manual dun gran número de operacións aritméticas, que dependían do número de puntos que describían a función de onda. Para facilitar os cálculos, hoxe hai programas especiais que permiten a implantación de novos métodos analíticos. Así, en 1965, James Cooley e John Tewki crearon software que se tornou coñecido como a "transformada rápida de Fourier". Permite aforrar tempo de realización de cálculos debido á redución do número de multiplicacións na análise dunha curva. O método de "transformación rápida de Fourier" baséase en dividir a curva nun gran número de valores de mostra uniformes. En consecuencia, o número de multiplicacións é reducido á metade coa mesma diminución no número de puntos.

Aplicación da transformada de Fourier

Este proceso utilízase en diversos campos da ciencia: na teoría de números, física, procesamento de sinal, combinatoria, teoría de probabilidade, criptografía, estatística, oceanoloxía, óptica, acústica, xeometría e outros. As ricas posibilidades da súa aplicación baséanse nunha serie de funcións útiles que foron denominadas "propiedades da transformada de Fourier". Considéralas.

1. A transformación dunha función é un operador lineal e cunha normalización correspondente é unitaria. Esta propiedade é coñecida como o teorema Parseval, ou no caso xeral do teorema de Plancherel, ou o dualismo Pontryagin.

2. A transformación é reversible. E o resultado inverso ten case a mesma forma, así como cunha solución directa.

3. As expresións básicas sinusoides son eigenfuncións. Isto significa que tal representación modifica ecuacións lineais cun coeficiente constante en ecuacións algebraicas normais.

4. Segundo o teorema de "convolución", este proceso transforma unha operación complexa en multiplicación elemental.

5. A transformada discreta de Fourier pódese calcular rapidamente nunha computadora usando o método "rápido".

Variedades da transformada de Fourier

1. Na maioría das veces este termo úsase para denotar unha transformación continua que proporciona calquera expresión integrable de forma cuadrática como unha suma de expresións exponenciais complexas con frecuencias angulares específicas e amplitudes. Esta especie ten varias formas distintas, que poden diferir en coeficientes constantes. Un método continuo inclúe unha táboa de conversión, que se pode atopar en libros de referencia matemáticos. Un caso xeneralizado é unha transformación fraccionada, mediante a cal o proceso dado pode elevarse ao poder real necesario.

2. O método continuo é unha xeneralización da técnica temprana da serie de Fourier definida para varias funcións ou expresións periódicas que existen nun dominio limitado e represéntano como unha serie de sinusoides.

3. Transformación discreta de Fourier. Este método emprégase na tecnoloxía informática para cálculos científicos e para procesamento de sinal dixital. Para levar a cabo este tipo de cálculo, cómpre ter funcións que determinen nun determinado conxunto puntos individuais, dominios periódicos ou delimitados en lugar de integrales continuas de Fourier. A conversión de sinal neste caso está representada como a suma dos sinusoides. Neste caso, o uso do método "rápido" permítenos aplicar solucións discretas para calquera tarefa práctica.

4. A transformada de Fourier xanela é unha forma xeneralizada do método clásico. A diferenza da solución estándar, cando se usa o espectro de sinal, que se toma no rango completo de existencia dunha variable dada, a distribución de frecuencias locais é de especial interese só se se conserva a variable orixinal (tempo).

5. Transformación de Fourier bidimensional. Este método emprégase para traballar con conxuntos de datos bidimensionales. Neste caso, primeiro a transformación realízase nunha dirección e despois na outra.

Conclusión

Hoxe, o método de Fourier está firmemente arraigado en diversos campos da ciencia. Por exemplo, en 1962, a forma dunha dobre hélice de ADN foi descuberta usando análise de Fourier en combinación coa difracción de raios X. Os últimos centráronse en cristais de fibras de ADN, polo que a imaxe obtida durante a difracción da radiación foi fixada na película. Esta imaxe deu información sobre o valor da amplitude cando se utiliza a transformada de Fourier á estrutura de cristal dada. Os datos sobre a fase obtivéronse comparando o mapa de difracción do ADN cos mapas obtidos ao analizar estruturas químicas similares. Como resultado, os biólogos restauraron a estrutura do cristal - a función orixinal.

As transformacións de Fourier desempeñan un papel importante no estudo do espazo exterior, a física dos materiais semiconductores e plasma, acústica de microondas, oceanografía, radar, sismoloxía e enquisas médicas.