¿Que é aritmética? O teorema principal da aritmética. Aritmética binaria

¿Que é aritmética? Cando a humanidade comezou a usar números e traballou con eles? Onde están as raíces dos conceptos comúns, como números, fraccións, restas, adición e multiplicación, que o home fixo unha parte inseparable da súa vida e visión do mundo, vai? As mentes antigas gregas admiran ciencias como matemática, aritmética e xeometría, como as sinfonías máis fermosas da lóxica humana.

Quizais a aritmética non sexa tan profunda como as outras ciencias, pero o que lles sucedería, esquecer a táboa elemental de multiplicación? O pensamento lóxico habitual, utilizando números, fraccións e outras ferramentas, non se facilitaba fácilmente ás persoas e por moito tempo non estaba dispoñible para os nosos antepasados. De feito, antes do desenvolvemento da aritmética, ningunha área do coñecemento humano era verdadeiramente científica.

A aritmética é o alfabeto das matemáticas

A aritmética é a ciencia dos números cos que calquera persoa comeza a familiarizarse co fascinante mundo das matemáticas. Como dixo M. Lomonosov, a aritmética é a porta de entrada da bolsa, o que nos abre o camiño cara ao coñecemento do mundo. Pero ten razón, pode o coñecemento do mundo ser separado do coñecemento de números e letras, matemáticas e discursos? Quizais nos tempos antigos, pero non no mundo moderno, onde o rápido desenvolvemento da ciencia e a tecnoloxía dictan as súas leis.

A palabra "aritmética" (grego "aritmos") de orixe grega, significa "número". Ela estudia o número e todo o que pode conectarse con eles. Este é un mundo de números: diferentes accións sobre números, regras numéricas, resolución de problemas que implican a multiplicación, a resta, etc.

É xeralmente aceptado que a aritmética é o primeiro paso da matemática e unha base sólida para seccións máis complexas do mesmo, como álxebra, matanálise, matemática superior, etc.

O obxecto principal da aritmética

A base da aritmética é un número enteiro cuxas propiedades e regularidades son consideradas na teoría de aritmética ou de números máis altos . De feito, a forza de todo o edificio - a matemática depende de como se tome o enfoque correcto ao considerar un pequeno bloque como un número natural.

Polo tanto, a cuestión do que é aritmética pódese responder simplemente: é a ciencia dos números. Si, sobre as sete, nove e toda esta comunidade diversa. E así como non podes escribir bos e mediocres poemas sen alfabeto elemental, sen aritmética non podes resolver nin un problema elemental. É por iso que todas as ciencias avanzaron só despois do desenvolvemento da aritmética e as matemáticas, sendo ante todo só un conxunto de suposicións.

Aritmética - ciencia fantasma

¿Que é aritmética - ciencia natural ou fantasma? De feito, como argumentaban os antigos filósofos gregos, non hai números nin cifras en realidade. Este é só un fantasma que se crea no pensamento humano ao considerar o medioambiente cos seus procesos. En realidade, que é un número? En ningún outro lugar vemos algo así, o que podería ser chamado número, máis ben, un número é un xeito da mente humana para estudar o mundo. E quizais este sexa un estudo de nós mesmos desde dentro? Os filósofos argumentaron sobre isto por moitos séculos consecutivos, polo que non emprendemos unha resposta exhaustiva. De algunha maneira, a aritmética logrou tomar posicións tan firme que no mundo de hoxe non se pode considerar socialmente adaptado sen o coñecemento dos seus fundamentos.

Como apareceu un número natural

Por suposto, o obxecto principal operado por aritmética é un número natural, como 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... etc. A aritmética dos números naturais é o resultado de contar obxectos comúns, por exemplo, vacas nun prado. Aínda así, a definición de "moito" ou "pouco" xa deixou de atender ás persoas, e tiven que inventar mellores técnicas de contaxe.

Pero un avance real ocorreu cando o pensamento humano chegou ao punto de que é posible designar polo mesmo número "dous" 2 quilogramos, 2 ladrillos e 2 partes. O feito é que precisa abstraerse das formas, propiedades e significados de obxectos, entón podes facer algunhas accións con estes obxectos en forma de números naturais. Así foi como naceu a aritmética dos números, que se desenvolveu e expandiu, ocupando posicións cada vez maiores na vida da sociedade.

Tales nocións profundas de números, como cero e un número negativo, fraccións, a notación de números en números e doutros xeitos, teñen unha historia rica e interesante de desenvolvemento.

Exipcios aritméticos e prácticos

Dous dos compañeiros máis antigos humanos no estudo do mundo circundante e a resolución de problemas cotiáns son a aritmética ea xeometría.

Crese que a historia da aritmética orixínase no Oriente Antigo: na India, Egipto, Babilonia e China. Así, o papiro de Rinda de orixe egipcia (nomeado así, porque pertencía ao dono do mesmo nome), datado no século XX. BC, agás outros datos valiosos, contén a descomposición dunha fracción pola suma de fraccións con diferentes denominadores e un numerador igual a un.

Por exemplo: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365.

Pero cal é o punto de descomposición tan complexa? O feito é que o enfoque exipcio non podía tolerar o pensamento abstracto dos números, pola contra, os cálculos só se fixeron para fins prácticos. É dicir, o egipcio tratará de cousas como cálculos, só para construír unha tumba, por exemplo. Era necesario calcular a lonxitude do borde da estrutura, e isto obrigou á persoa a sentarse para papiro. Ao parecer, o progreso egipcio nos cálculos foi causado, máis ben pola construción masiva, en lugar do amor pola ciencia.

Por este motivo, os cálculos atopados nos papiros non se poden chamar reflexións sobre fraccións. Probablemente, trátase dunha adquisición práctica, que axudou no futuro a resolver problemas con fraccións. Os antigos egipcios, que non sabían as táboas de multiplicación, producían cálculos bastante longos, descompostos en moitas sub-tarefas. Quizais esta sexa unha desas subtascas. Non é difícil ver que os cálculos con tales preparados son moi laboriosos e de pouca perspectiva. Quizais, por esta razón, non vemos a gran contribución do antigo Exipto ao desenvolvemento das matemáticas.

Grecia antiga e aritmética filosófica

Moitos dos coñecementos do Oriente Antigo foron dominados polos antigos gregos, amantes coñecidos de reflexos abstractos, abstractos e filosóficos. A práctica deles non era de ningún interese, pero é difícil atopar os mellores teóricos e pensadores. Isto foi en beneficio da ciencia, xa que é imposible penetrar en aritmética sen romper coa realidade. Por suposto, pode multiplicar 10 vacas e 100 litros de leite, pero non será posible chegar lonxe.

Pensando profundamente os gregos deixaron unha marca significativa na historia, e os seus escritos chegaron a nós:

• Euclides eo "Inicio".
• Pitágoras.
• Arquímedes.
• Eratóstenes.
• Zeno.
• Anaxágoras.

E, por suposto, os gregos convertendo todo en filosofía, e especialmente os continuadores do caso pitagórico, estaban tan arrastrados por números que lles consideraban o misterio da harmonía do mundo. Os números foron tan estudados e estudados que algúns deles e os seus pares atribuíron propiedades especiais. Por exemplo:

• Os números perfectos son aqueles que son iguais á suma de todos os seus divisores, excepto o propio número (6 = 1 + 2 + 3).
• Os números amigables son números, un dos cales é igual á suma de todos os divisores do segundo e viceversa (os pitagóricos só sabían un deles: 220 e 284).

Os gregos, que creron que a ciencia necesitaba ser amada e non estar con ela en aras de gañar, logrou un gran éxito, explorando, xogando e engadindo números. Cómpre salientar que non todas as súas investigacións atoparon unha ampla aplicación, algunhas delas só quedaron "por beleza".

Pensadores orientais da Idade Media

Do mesmo xeito, na Idade Media, a aritmética debe o seu desenvolvemento aos contemporáneos orientais. Os indios déronnos cifras que estamos usando activamente, un termo como "cero" e unha versión posicional do sistema de cálculo que é familiar á percepción moderna. Desde al-kasha, que traballou en Samarcanda no século XV, herdamos decimales, sen o cal é difícil imaxinar a aritmética moderna.

En moitos sentidos, o coñecemento de Europa cos logros do Leste foi posible grazas ao traballo do científico italiano Leonardo Fibonacci, que escribiu o libro "O libro Abacus", que presenta as innovacións orientais. Tornouse a pedra angular do desenvolvemento do álxebra e da aritmética, a investigación ea actividade científica en Europa.

Aritmética rusa

E, finalmente, a aritmética, que atopou o seu lugar e rooteou en Europa, comezou a estenderse ás terras rusas. A primeira aritmética rusa foi publicada en 1703 - era un libro sobre a aritmética de Leonty Magnitsky. Durante moito tempo permaneceu como o único manual docente sobre matemáticas. Contén os primeiros momentos de álxebra e xeometría. Figuras, que usaron nos exemplos o primeiro libro de texto aritmético en Rusia, árabe. Aínda que os números arábigos se atoparon anteriormente, en gravados que datan do século XVII.

O libro en si está decorado con imaxes de Arquímedes e Pitágoras, e na primeira folla - a imaxe da aritmética en forma de muller. Ela senta no trono, debaixo de que está escrito en hebreo a palabra que denota o nome de Deus e nos pasos que levan ao trono, as palabras "división", "multiplicación", "suma", etc. están inscritas, etc. Só se pode imaxinar o significado traizoado Tales verdades, que agora se consideran comúns.

Un libro de texto de 600 páxinas describe tanto os conceptos básicos como a táboa de adición e multiplicación e as aplicacións ás ciencias da navegación.

Non é de estrañar que o autor elixise imaxes de pensadores gregos para o seu libro, porque el mesmo estaba cativado pola beleza da aritmética, dicindo: "A aritmética é un numerador, hai unha arte honesta e sen foca ...". Esta aproximación á aritmética está totalmente xustificada, porque é a súa introdución xeneralizada que pode considerarse o comezo do rápido desenvolvemento do pensamento científico en Rusia e na educación xeral.

Números primos incribles

Un número primo é un número natural que ten só 2 divisores positivos: 1 e si. Todos os outros números, sen contar 1, son chamados compostos. Exemplos de números primos: 2, 3, 5, 7, 11 e todos os demais que non teñen outros divisores, excepto o número 1 e vostede mesmo.

En canto ao número 1, está nunha conta especial: existe a convicción de que non se debe considerar nin simple nin complexo. Un sinxelo a primeira vista sinxelo, oculta moitos misterios non resoltos dentro de ti.

O teorema de Euclides di que os números primos son un conxunto infinito e Eratóstenes xurdiu cunha "peneira" aritmética que saca números incómodos, deixando só os simples.

A súa esencia é enfatizar o primeiro número non subliñado e, no futuro, eliminar os que son múltiples. Repetimos este procedemento varias veces e obtemos unha táboa de números primos.

O teorema principal da aritmética

Entre as observacións sobre números primos, hai que mencionar de xeito especial o teorema básico da aritmética.

O teorema básico da aritmética di que calquera número enteiro maior que 1 é simple, ou pode descompoñerse nun produto de primos dentro da orde dos factores, dun xeito único.

O teorema principal da aritmética demostrouse bastante engorroso, ea súa comprensión xa non é similar aos fundamentos máis simples.

A primeira vista, os números primos son un concepto elemental, pero isto non é así. A física tamén considerou o átomo elemental, ata que atopou un universo enteiro dentro dela. A fermosa historia do matemático Don Tsagir "Os primeiros cincuenta millóns de números primos" están dedicados aos números primos.

De "tres mazás" ás leis deductivas

O que realmente se pode chamar a base reforzada de toda a ciencia é a lexislación da aritmética. Como neno, todos se enfrontan con aritmética, estudan o número de pernas e bolígrafos en bonecas, o número de cubos, mazás, etc. Así que estudamos a aritmética, que pasa a regras máis complexas.

Toda a nosa vida nos coñece coas regras da aritmética, que se converteron para o home común o máis útil de todo o que a ciencia dá. O estudo dos números é "aritmética-bebé", que introduce unha persoa ao mundo dos números en forma de números na primeira infancia.

A aritmética superior é unha ciencia deductiva que estudia as leis da aritmética. A maioría deles sabemos, aínda que, talvez, non coñecemos as formulacións exactas.

A lei de adición e multiplicación

Calquera dous números naturais a e b pode expresarse como a + b, que tamén é un número natural. No que se refire á adición, aplícanse as seguintes leis:

• Un conmutativo que di que a suma non cambia da permutación dos summands en lugares, ou a + b = b + a.
• Asociativo , que di que a suma non depende do xeito de agrupar sumands en lugares, ou a + (b + c) = (a + b) + c.

As regras da aritmética, como a suma, son algunhas das elementais, pero son utilizadas por todas as ciencias, sen esquecer a vida cotiá.

Os dous números naturais a e b pódense expresar no produto a * b ou a * b, que tamén é un número natural. As mesmas leis conmutativas e asociativas aplican ao produto en canto á adición:

• A * b = b * a;
• A * (b * c) = (a * b) * c.

É interesante que exista unha lei que combine a adición e a multiplicación, tamén chamada lei distributiva ou distributiva:

A (b + c) = ab + ac

Esta lei realmente nos ensina a traballar con parénteses, revelándoos, así podemos traballar con fórmulas máis complexas. Estas son exactamente as leis que nos guiarán polo mundo bizarro e complexo do álgebra.

A lei da orde aritmética

A lei de orde usa lóxica humana todos os días, comparando reloxos e contando contas. E, con todo, e debe ser formalizado en forma de formulacións concretas.

Se temos dous números naturais a e b, entón son posibles as seguintes opcións:

• A é b, ou a = b;
• A é menor a b, ou a
• A é maior que b, ou a> b.

Das tres opcións, só un pode ser xusto. A lei básica que regula a orde di: se a

Tamén hai leis que vinculan a orde coas accións de multiplicación e adición: se a

As leis da aritmética ensínannos a traballar cos números, os sinais e os parénteses, converténdoo todo nunha sinfonía armónica de números.

Sistemas de cálculo posicionais e nonposicionales

Podemos dicir que os números son un idioma matemático, desde a comodidade de que depende moito. Hai moitos sistemas de cálculo que, como os alfabetos de diferentes linguas, difieren un do outro.

Considere o sistema de numeración desde o punto de posicións de impacto sobre o valor cuantitativo do díxito nesta posición. Por exemplo, o sistema romano é nonpositional onde cada número é codificado por un conxunto específico de caracteres: eu / V / X / L / C / D / M. Son, respectivamente, os números 1/5/10/50/100/500 / 1000. Neste sistema, a figura non cambia a súa determinación cuantitativa, dependendo en que posición debe: .. O primeiro, segundo, etc. Para outros números, é necesario establecer a base. Por exemplo:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Máis familiar para nós sistema de numeración en algarismos arábicos é posicional. En tal sistema o número de descarga define o número de díxitos, por exemplo, números de tres cifras: 333, 567, etc. O peso de calquera da descarga depende dunha posición na que a figura é un ou outro, por exemplo, a figura 8 en segunda posición, ten un valor de 80. É típico para o sistema decimal, hai outro sistema de posicionamento, como binario.

aritmética binaria

Estamos sistema decimal familiarizado, composta por algarismos dun único bit e multi-bit. A figura da esquerda no número díxito é dez veces maior en importancia a outro á dereita. Entón, estamos afeitos a ler 2, 17, 467, e así por diante. D. É unha sección lóxica e visión diferente, que se chama "aritmética binaria." Isto non é sorprendente, porque a aritmética binaria non é creado para a lóxica humana, e para o seu ordenador. A aritmética dos números orixinado a partir da conta, que aínda captada desde a propiedade suxeita a "naked" aritmética, entón iso non vai funcionar co seu ordenador. Para poder compartir os seus coñecementos co ordenador, un home tivo que inventar un modelo de cálculo.

aritmética binaria funciona co alfabeto binario, que consiste só de 0 e 1. E o uso deste alfabeto é chamado un sistema binario.

A diferenza decimal aritmética binaria que a importancia da posición da esquerda non son máis de 10, e 2 veces. Os números binarios son do formulario 111, 1001 e así por diante. D. Como debemos entender eses números? Así, consideramos o número 1100

1. O primeiro díxito á esquerda - 1 * 8 = 8, tendo en conta que o cuarto díxito, o que significa que debe ser multiplicado por 2, obtemos a posición 8.
2. Segundo díxito 1 * 4 = 4 (posición 4).
3. O terceiro díxito 0 * 2 = 0 (posición 2).
4. O cuarto díxitos 0 * 1 = 0 (posición 1).
5. Así, o noso número 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

É dicir, a transición cara a unha nova categoría á esquerda da súa importancia no sistema binario é multiplicado por 2 eo decimal - a 10. Tal sistema ten unha desvantaxe: é demasiado grandes anacos de crecemento que son necesarios para gravar números. Exemplos números decimais dvochinyh como se pode ver na táboa a seguir.

Números decimais son representados en forma binaria continuación.

Tamén se usa octal, e sistema de numeración hexadecimal.

Esta misteriosa aritmética

Que é aritmética, "dous dous" ou misterios inexploradas de números? Como verás, aritmética, pode, e que parece a primeira vista un simple, pero non é obvia facilidade enganosa. Pode estudar os nenos, e xunto coa tía curuxa do deseño animado "Aritmética-baby", e pode mergullo na investigación científica profunda final case filosófico. Na historia que pasou de contar obxectos para adorar a beleza de números. Unha cousa é certa: o establecemento dos postulados básicos de aritmética, toda a ciencia pode confiar no seu ombreiro forte.