Péndulo: período de aceleración e de fórmula

O sistema mecánico que está formado por un punto de materiais (o corpo), que pende sobre un filamento non extensible lixeiro (a masa é desdeñable comparado co peso do corpo) nun campo gravitacional uniforme, o chamado péndulo matemático (outro nome - o oscilador). Existen outros tipos de dispositivos. En vez de unha hasta de filamentos peso pode ser usada. Pendulum poden revelar claramente a esencia de moitos fenómenos interesantes. Cando pequenas vibracións de amplitude do seu movemento é chamado harmónica.

Información xeral sobre o sistema mecánico

A fórmula do período de oscilación do péndulo foi creado Huygens científico holandés (1629-1695 gg.). Este contemporáneo de Isaac Newton gustaba moito do sistema mecánico. En 1656 creou o primeiro reloxo cun mecanismo de péndulo. Eles mediron o tempo con extrema precisión para aqueles tempos. Esta invención foi un paso importante no desenvolvemento de experiencias físicas e actividades prácticas.

Se o péndulo está nunha posición de equilibrio (colgada vertical), a forza da gravidade pode ser equilibrada pola forza de tensión do fío. péndulo plana nunha fíos non elástica é un sistema con dous graos de liberdade de comunicación. Ao cambiar só un compoñente de cambiar as características de todas as súas partes. Por exemplo, se un fío é substituído por unha hasta, entón, este sistema mecánico é só 1 grado de liberdade. O que, entón, as propiedades dun péndulo matemático? Neste sistema simple, baixo a influencia dunha perturbación periódica, parece caos. Neste caso, cando o punto de suspensión non está en movemento, e un péndulo oscila hai unha nova posición de equilibrio. Se rápidas flutuacións arriba e abaixo o sistema mecánico faise estable posición "de cabeza para baixo". Tamén ten o seu nome. É o chamado Kapitza péndulo.

As propiedades do péndulo

Pendulum ten propiedades moi interesantes. Todos eles son apoiados por leis físicas coñecidas. O período de oscilación do péndulo calquera outro depende de varias circunstancias, tales como o tamaño e forma do corpo, a distancia entre o punto de suspensión eo centro de gravidade, a distribución do peso en relación a este punto. Por iso, a definición do período de suspensión corpo é moi reto. É moito máis doado para calcular o período dun péndulo simple, cuxa fórmula é dada a continuación. Como resultado de observar estes patróns poden ser definidas en sistemas mecánicos similares:

• Se, mantendo a mesma lonxitude do péndulo, suspendido dunha variedade de cargas, o período da oscilación obter o mesmo, aínda que o seu peso vai variar moito. En consecuencia, o período do péndulo non depende do peso da carga.

• Se o sistema comeza a declinar no péndulo non é moi grande, pero diferentes ángulos, ha flotar co mesmo período, pero en diferentes amplitudes. Mentres desvíos do centro de equilibrio non é demasiado grandes flutuacións na súa forma será suficiente preto harmónica. O período de tal péndulo non depende da amplitude de vibración. Esta propiedade do sistema mecánico chámase isocronismo (en "Chronos" grego - tempo "Izosov" - igual).

O período dun péndulo simple

Este valor representa o período natural de oscilación. A pesar da formulación complexo, o proceso en si é moi sinxelo. Se a lonxitude do fío matemático péndulo L, ea aceleración da gravidade g, este valor é igual:

T = 2π√L / g

Pequeno período de oscilacións naturais de ningún xeito non depende da masa do péndulo e da amplitude de oscilación. Neste caso, como un péndulo matemático move con lonxitude reducido.

Oscilacións dun péndulo matemático

péndulo matemático oscila, o que pode ser descrito por unha ecuación diferencial simple:

x + ω2 sin x = 0,

en que X (t) - función descoñecida (este ángulo de deflexión a partir da posición inferior de equilibrio no tempo t, expresada en radiáns); ω - unha constante positiva que está determinada a partir dos parámetros do péndulo (ω = √g / L, onde g - a aceleración da gravidade, e L - a lonxitude dun péndulo simple (suspensión).

Ecuación pequenas oscilacións próximos á posición de equilibrio (ecuación harmónica) do seguinte xeito:

x + ω2 sin x = 0

movemento oscilatorio do péndulo

Péndulo, o que fai pequenas oscilacións, sinusoid en movemento. ecuación diferencial de segunda orde cumpre todos os requisitos e parámetros dun tal movemento. Para determinar o camiño que precisa para axustar a velocidade e coordenadas, que máis tarde certas constantes independentes:

x = A sen (θ ₀ + Cot),

onde θ ₀ - fase inicial, a - amplitude de oscilación, ω - Frecuencia cíclica determinada a partir das ecuacións de movemento.

Péndulo (fórmula para grandes amplitudes)

Este sistema mecánico, desempeñar as súas oscilacións cunha gran amplitude, que está suxeita ás leis de tráfico máis complexos. son calculados segundo a fórmula para unha tal péndulo:

sen x / 2 = u * sn (Cot / u),

onde sn - sine Jacobi, que por u <1 é unha función periódica, e para pequenas u coincide co seno trigonométrica simple. O valor de L é determinado pola seguinte expresión:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

onde ε = E / ML2 (ML2 - enerxía do péndulo).

Determinación do período de oscilación vertical do péndulo pola seguinte fórmula:

T = 2π / Ω,

onde Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - integral elíptica, π - 3,14.

o movemento pendular da separatriz

Chámase traxectoria separatrix do sistema dinámico, no que un espazo de fase bidimensional. Péndulo se move sobre un non-periodicamente. No punto infinitamente lonxe do momento en que cae desde a posición superior extrema para unha velocidade cero, e entón é gradualmente gañando. Finalmente parou, volvendo á súa posición orixinal.

A amplitude de oscilación do péndulo se achega do número pi, dise que o movemento no plan de fase é próximo ao separatrix. Neste caso, baixo a acción dunha pequena forza de condución periódica do sistema mecánico presenta un comportamento caótico.

No caso dun péndulo simple a partir da posición de equilibrio cun ángulo CP ocorre forza tanxencial Fτ = Sin -mg φ gravidade. Sinal "menos" significa que o compoñente tangencial dirixida no sentido oposto a partir da dirección do desvío do péndulo. Cando se referir vía desprazamento de péndulo x ao longo dun arco circular cun raio L é igual ao seu desprazamento angular φ = x / L. A segunda lei Isaaka Nyutona, deseñado para a proxección do vector de aceleración e forzas dar o valor desexado:

mg τ = Fτ = -mg sen x / G

Derivada relación, está claro que o péndulo é un sistema non lineal, como unha forza que tende a volver á súa posición de equilibrio, non é sempre proporcional ao desprazamento x, un sen x / L.

Só cando o péndulo matemático executa pequenas vibracións, é un oscilador de harmónica. Noutras palabras, fai-se un sistema mecánico capaz de realizar oscilacións harmónicas. Esta aproximación é válida para case ángulos de 15-20 °. Pendulum con grandes amplitudes non é harmoniosa.

A lei de Newton para pequenas oscilacións dun péndulo

Se o sistema mecánico realiza pequenas oscilacións, a lei 2 de Newton será coma este:

mg τ = Fτ = -m * g / l * x.

Nesta base, podemos concluír que a aceleración tanxencial dun péndulo simple é proporcional ao seu desprazamento co sinal "menos". Esta é unha condición na que o sistema tórnase un oscilador de harmónica. factor de proporcionalidade entre o módulo de desprazamento e aceleración é igual ao cadrado da frecuencia angular:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

Esta fórmula reflicte a frecuencia natural de pequenas oscilacións deste tipo de péndulo. Nesta base,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Cálculos con base na lei da conservación da enerxía

Propiedades oscilando movementos de péndulo pode ser descrito coa axuda da lei da conservación da enerxía. Débese ter en conta que a enerxía potencial do péndulo nun campo gravitacional é:

E = mgΔh = MGL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Completa enerxía mecánica é igual á cinética e potencial máximo: PEmáx = Ekmsx = Correo

Despois de ter escrito a lei da conservación de enerxía, tomando a derivada dos lados esquerdo e dereito da ecuación:

EP + Ek = const

Unha vez que o derivado das constantes é igual a 0, logo (Ep + Ek) '= 0. O derivado da suma é igual á suma dos derivados de:

EP '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x = mg / L * V Ek '= (MV 2/2) = m / 2 (v2)' = M / 2 * 2V * v '= MV * α,

polo tanto:

Mg / L * XV + MVA = V (mg / L * x + m α) = 0.

Con base na última fórmula, atopamos: α = - g / L * x.

aplicación práctica do péndulo matemático

Aceleración de caída libre varía coa latitude, porque a densidade da codia arredor do planeta non idénticas. Onde as rochas ocorrer cunha densidade máis alta, será un pouco maior. Aceleración do péndulo matemático é frecuentemente utilizado para a explotación. Na súa axuda ollar para diferentes minerais. Basta contar o número de oscilacións dun péndulo, é posible detectar a carbón ou mineral nas entrañas da Terra. Isto é debido ao feito de que estes recursos teñen unha densidade e peso de máis de mentir baixo as pedras soltas.

péndulo matemático utilizado por tales estudiosos destacados como Sócrates, Aristóteles, Platón, Plutarco, Arquímedes. Moitos deles cren que o sistema mecánico poden influír no destino ea vida. Arquímedes utilizou o péndulo matemático con seus cálculos. Hoxe en día, moitos ocultistas e psíquicos usar este sistema mecánico para a posta en marcha das súas profecías, ou a busca de persoas desaparecidas.

O famoso astrónomo e científico francés, Flammarion para as súas investigacións tamén usou un péndulo matemático. El afirmou que, coa súa axuda, foi capaz de prever o descubrimento dun novo planeta, a aparición do meteorito Tunguska, e outros eventos importantes. Durante a Segunda Guerra Mundial en Alemania (Berlín) traballou como un instituto especializado do péndulo. Hoxe en día, este tipo de investigación non está dispoñible Instituto Múnic de Parapsicologia. O seu traballo co péndulo do persoal desta institución chamada "radiesteziey".