Como calcular a área dunha pirámide: base, o lado e cheo?

En preparación para o exame en estudantes de matemáticas teñen a sistematizar o coñecemento de álxebra e xeometría. Gustaríame combinar toda a información coñecidas, como a forma de calcular a área dunha pirámide. Ademais, dende o fondo e caras laterais ata que toda a área de superficie. Se o lado afronta a situación é clara, xa que son triángulos, a base é sempre diferente.

Como ser cando a área da base da pirámide?

Pode ser moi calquera figura dun triángulo arbitrario ao gon n-. E esta base, agás a diferenza no número de ángulos, pode ser figura correcta ou incorrecta. En interese de tarefas alumnos no exame atopou só emprego cos números correctos na base. Polo tanto, imos só falar sobre eles.

triángulo equilátero

Isto é equilátero. Un que todas as partes coinciden e son designadas pola letra "a". Neste caso, a superficie da base da pirámide é calculada pola fórmula:

S = ⁽² * √3) / 4.

praza

A fórmula para calcular a súa área é a máis simple, é "a" - banda é novo:

E S = ^2.

Arbitraria regular de n-gon

Nos dous lados do polígono mesma designación. Para obter o número de ángulos utilizados letra n Latina.

S = (n * a ²⁾ / (4 * TG (180º / n)) .

Como entrar no cálculo da área de superficie lateral e cheo?

Desde a figura base é correcta, entón todas as caras da pirámide coinciden. Cada un dos cales é un triángulo isósceles, xa que os bordos laterais coinciden. A continuación, a fin de calcular a área dun lado da pirámide ten fórmula constituída pola suma de monomios idénticos. O número de termos é determinado pola cantidade dos lados da base.

A área dun triángulo isósceles é calculado pola fórmula en que a metade do produto base é multiplicado pola altura. Esta altura na pirámide chamado apótema. A súa designación - "A". A fórmula xeral para a área da superficie lateral é como segue:

S = ½ * P A, onde P - perímetro da base da pirámide.

Hai momentos en que non é coñecida para o lado da base, pero os bordos laterais son (a) plana eo ángulo no vértice (α). A continuación, el confía utilizar a seguinte fórmula para calcular a área lateral da pirámide:

S = n / 2 a ² * Sin α.

Tarefa № 1

Condición. Localizar a área total da pirámide, a base é un triángulo equilátero con unha banda de 4 cm e ten o valor √3 apótema cm.

Decisión. Debe comezar co cálculo do perímetro da base. Xa que este é un triángulo regular, entón P = 3 * 4 = 12 cm apótema Como é sabido, pódese calcular inmediatamente a zona de toda a superficie lateral:. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^cm2.

Para obter o triángulo de base é o valor da área (4 * ² √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

Para determinar a área enteira necesita dobrar os dous valores resultantes: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Resposta. 10√3 ^cm2.

Problema № 2

Condición. Hai unha pirámide cuadrangular regular. A lonxitude da base é igual a 7 mm, o mecanizado lateral - 16 mm. Ten que saber a súa área de superficie.

Decisión. Dende o poliedro - rectangular e correcto, na súa base é un cadrado. Escoitando superficie de base e laterais poder contar da pirámide cadrado. A fórmula para o cadrado é dado anteriormente. E sei que todas as caras laterais do triángulo. Polo tanto, pode utilizar a fórmula de Heron para o cálculo das súas áreas.

Os primeiros cálculos son simples e levar a este número: 49 mm ^2. Para calcular o segundo valor que semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Agora podemos calcular a área dun triángulo isósceles: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54.644 ^mm2. Existen catro triángulos, por iso, cando o cálculo dos números finais terán que ser multiplicado por catro.

Traído: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^mm2.

Resposta. 267,576 valor desexado de ² mm.

Tarefa № 3

Condición. Na pirámide cuadrangular regular é necesario calcular a área. Sabe-se dos lados do cadrado - 6 cm de altura e 4 cm -.

Decisión. O xeito máis doado de usar a fórmula para o produto do perímetro e apótema. O primeiro valor é atopado simplemente. A segunda un pouco máis difícil.

Nós imos ter que lembrar o teorema de Pitágoras e considerar un triángulo rectángulo. El está formado pola altura da pirámide e apótema, que representa a hipotenusa. A segunda etapa é a metade do lado da praza, como unha altura poliedro cae no medio dela.

apótema favorecer (a hipotenusa dun triángulo rectángulo) é igual a √ (3 + ² 4 ²⁾ = 5 (cm).

Agora é posible calcular o valor desexado: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 ^{(2 cm).}

Resposta. 96 cm ^2.

Problema № 4

Condición. Dana pirámide hexagonal regular. Os dous lados da súa base igual a 22 mm, os bordos laterais - 61 mm. Cal é a área da superficie lateral deste poliedro?

Decisión. O razoamento nela son as mesmas descritas na №2 tarefa. Só a pirámide foi dada alí para a praza na base, e agora é un hexágono.

O primeiro paso é calculado pola área da base da fórmula anterior ^{(6 * 22 2) / (} 4 * TG (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Agora ten que atopar medio perímetro dun triángulo isósceles, que é unha cara lateral. (22 + 61 * 2):. = 72 cm2 permanece na fórmula de Heron para calcular a área de cada un triángulo, e, a continuación, multiplicar por seis veces e aquel que se mostrou á base.

Os cálculos relativos á fórmula de Heron: √ (72 * (72-22) * ( 72-61) 2) = √435600 = 660 cm ^2. Os cálculos que ha proporcionar unha área superficie lateral: 660 * 6 = 3,960 centímetros ^2. Resta engadir los a descubrir toda a superficie: 5217,47≈5217 cm ^2.

Resposta. Fundamentos - 726√3 cm ^2, a superficie do lado - 3960 cm ^2, toda a zona - 5217 cm ^2.