A ecuación do plano: como facer? Tipo de ecuacións de avión

No espazo, un avión pode ser definido de diferentes xeitos (un punto e un vector, dous puntos e un vector, tres puntos, etc.). Con isto en mente, a ecuación do avión pode ter diferentes tipos. Ademais, se se cumpren determinadas condicións, os planos poden ser paralelos, perpendiculares, intersecantes, etc. Falaremos deste artigo. Aprenderemos a facer unha ecuación xeral do avión e non só.

A forma normal da ecuación

Supoña que hai un espazo R ₃ que ten un sistema de coordenadas rectangulares XYZ. Defina o vector α, que se liberará desde o punto inicial O. A través do extremo do vector α debuxar o avión Π, que será perpendicular a el.

Denotamos por Π un punto arbitrario Q = (x, y, z). Escribiremos o vector de radio do punto Q pola letra p. Neste caso, a lonxitude do vector α é igual a p = IαI e Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

É un vector unitario que se dirixe cara ao lado, como o vector α. Α, β e γ son os ángulos que se forman entre o vector Ʋ e as direccións positivas dos eixes do espazo x, y, z, respectivamente. A proxección dalgún punto QεP sobre o vector Ʋ é unha constante igual a p: (p, Ʋ) = p (p≥0).

Esta ecuación ten sentido cando p = 0. O único plano P neste caso intersecará o punto O (α = 0), que é a orixe, eo vector da unidade Ʋ liberado do punto O será perpendicular a Π, a pesar da súa dirección, o que significa que o vector Ʋ está definido con Precisión do sinal. A ecuación anterior é a ecuación do noso avión II, expresada en forma vectorial. Pero nas coordenadas do seu aspecto deste xeito:

P é maior ou igual a 0. Atopamos a ecuación dun plano no espazo na forma normal.

A ecuación xeral

Se a ecuación nas coordenadas é multiplicada por calquera número que non equivale a cero, obtemos unha ecuación equivalente a unha dada, que determina o mesmo plano. Aparecerá así:

Aquí A, B, C son números que son simultáneamente non cero. Esta ecuación chámase a ecuación dun avión xeral.

Ecuacións de avións. Casos especiais

A ecuación en forma xeral pode modificarse baixo a presenza de condicións adicionais. Consideremos algúns deles.

Supoña que o coeficiente A é 0. Isto significa que o avión dado é paralelo ao eixo dada Boi. Neste caso, a forma da ecuación cambiará: Boo + Cz + D = 0.

Do mesmo xeito, a forma da ecuación cambiará baixo as seguintes condicións:

• En primeiro lugar, se B = 0, a ecuación cambiará a Axe + Cz + D = 0, que será proba de paralelismo ao eixo Oy.
• En segundo lugar, se C = 0, entón a ecuación transfórmase en Ax + Boo + D = 0, que falará de paralelismo co eixo D Oz.
• En terceiro lugar, se D = 0, a ecuación parecerá Ax + Boo + Cz = 0, o que significa que o plano cruza O (a orixe).
• En cuarto lugar, se A = B = 0, entón a ecuación cambiará a Cz + D = 0, o cal demostrará en paralelo a Oxy.
• Quinto, se B = C = 0, a ecuación converteuse en Ax + D = 0, o que significa que o avión a Oyz é paralelo.
• Se sexto, se A = C = 0, entón a ecuación tomará o formulario Boo + D = 0, é dicir, reportará o paralelismo a Oxz.

Tipo de ecuación en segmentos

No caso de que os números A, B, C e D sexan diferentes de cero, a forma de ecuación (0) pode ser a seguinte:

X / a + y / b + z / c = 1,

En que a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Como resultado, obtemos a ecuación do avión nos segmentos. Nótese que este plano cruzará o eixe do boi no punto con coordenadas (a, 0,0), Oy - (0, b, 0) e Oz - (0,0, c).

Tendo en conta a ecuación x / a + y / b + z / c = 1, non é difícil visualizar visualmente a disposición do plano en relación cun sistema de coordenadas dada.

Coordenadas do vector normal

O vector normal n ao plano Π ten coordenadas que son os coeficientes da ecuación xeral do plano dado, isto é, n (A, B, C).

Para determinar as coordenadas da n normal, é suficiente coñecer a ecuación xeral do plano dado.

Usando a ecuación en segmentos, que ten a forma x / a + y / b + z / c = 1, como na ecuación xeral, podemos escribir as coordenadas de calquera vector normal do avión dado: (1 / a + 1 / b + 1 / C).

Paga a pena observar que un vector normal axuda a resolver unha variedade de tarefas. Os problemas máis comúns inclúen o problema de probar a perpendicularidade ou o paralelismo dos planos, o problema de atopar ángulos entre planos ou ángulos entre planos e liñas.

A forma da ecuación do plano segundo as coordenadas do punto eo vector normal

Un vector non cero n perpendicular a un plano dado chámase o normal (normal) para un plano determinado.

Supoña que no espazo de coordenadas (sistema de coordenadas rectangulares) Oxyz se dan:

• Point Mₒ con coordenadas (xₒ, yₒ, z );
• O vector cero é n = A * i + B * j + C * k.

É necesario compoñer a ecuación do avión, que pasará polo punto Mₒ perpendicular ao normal n.

No espazo elixamos calquera punto arbitrario e denotámolo por M (xy, z). Permitir que o vector de radio de calquera punto M (x, y, z) sexa r = x * i + y * j + z * k, eo vector de radio do punto Mₒ (xₒ, yₒ, zₒ) - rₒ = xₒ * i + yₒ * J + zₒ * k. O punto M pertencerá ao plano dado se o vector MₒM é perpendicular ao vector n. Anotamos a condición de ortogonalidade mediante o produto escalar:

[MₒM, n] = 0.

Dado que MₒM = r-rₒ, a ecuación vectorial do avión verase así:

[R - rₒ, n] = 0.

Esta ecuación pode ter outra forma. Para iso, usamos as propiedades do produto escalar e o lado esquerdo da ecuación é transformado. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Se [rₒ, n] é denotado como c, entón obtense a seguinte ecuación: [r, n] - c = 0 ou [r, n] = c, que expresa a constancia das proxeccións no vector normal de vectores de radio de puntos dados que pertencen ao plano.

Agora podemos obter a forma coordenada do rexistro da ecuación vectorial do noso avión [r - rₒ, n] = 0. Dado que r-rₒ = (x-xₒ) * i + (y-yₒ) * j + (z-zₒ) * k, e N = A * i + B * j + C * k, temos:

Resulta que temos a ecuación dun avión que pasa por un punto perpendicular ao normal n:

A * (x - xₒ) + B * (y - yₒ) C * (z-zₒ) = 0.

A forma da ecuación do plano segundo as coordenadas de dous puntos e un vector, o plano colineal

Definimos dous puntos arbitrarios M '(x', y ', z') e M "(x", y ", z"), así como o vector a (a ', a ", a).

Agora podemos compoñer a ecuación do plano dado, que pasará polos puntos dispoñibles M 'e M ", e tamén calquera punto M coas coordenadas (x, y, z) paralelas ao vector dado a.

Ademais, os vectores M'M = {x-x '; y-y'; zz '} e M "M = {x" -x'; y "-y '; z" -z'} deben ser coplanares co vector A = (a ', a ", a), e isto significa que (M'M, M" M, a) = 0.

Así, a nosa ecuación dun avión no espazo verase así:

Forma da ecuación dun avión que cruza tres puntos

Supoña que temos tres puntos: (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴) que non pertencen á mesma liña. É necesario escribir a ecuación do avión que pasa polos tres puntos dados. A teoría da xeometría afirma que tal avión existe, pero só é única e irrepetible. Dado que este plano interseca o punto (x ', y', z '), a forma da súa ecuación será a seguinte:

Aquí A, B, C non son cero. Ademais, o plano dado intersecta dous puntos máis: (x ", y", z ") e (x ‴, y ‴, z ‴). A este respecto, estas condicións deben cumprirse:

Agora podemos formar un sistema homoxéneo de ecuacións (lineal) con incógnitas u, v, w:

No noso caso, x, y ou z é un punto arbitrario que satisfai a ecuación (1). Tendo en conta a ecuación (1) eo sistema das ecuacións (2) e (3), o sistema de ecuacións indicado na figura anterior satisfai o vector N (A, B, C), que non é trivial. É por iso que o determinante deste sistema é cero.

A ecuación (1), que obtivemos, é a ecuación do avión. Despois de 3 puntos, vai exactamente e é fácil de comprobar. Para iso, necesitamos expandir o noso determinante polos elementos da primeira fila. A partir das propiedades existentes do determinante segue que o noso plano cruza simultáneamente os tres puntos inicialmente indicados (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). É dicir, solucionámosnos a tarefa ante nós.

O ángulo de dous lados entre os planos

O recuncho de dúas caras representa unha figura xeométrica espacial formada por dous semi-planos que emanan dunha liña recta. Noutras palabras, isto forma parte do espazo que se limita a estes semi-planos.

Supoña que temos dous planos coas seguintes ecuacións:

Sabemos que os vectores N = (A, B, C) e N¹ = (А¹, В¹, С¹) son perpendiculares segundo os planos indicados. Neste contexto, o ángulo φ entre os vectores N e N¹ é igual ao ángulo (dous lados) que se atopa entre estes planos. O produto escalar ten a forma:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

Precisamente porque

Cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (АА¹ + ВВ¹ + Сї¹) / ((√ (² + ² + С²)) * (√ (А¹) ² + (¹) ² + (С¹) ²)).

Basta ter en conta que 0≤φ≤π.

De feito, dous planos que se cruzan forman dous ángulos (dous lados): φ ₁ e φ ₂ . A súa suma é igual a π (φ ₁ + φ ₂ = π). En canto aos seus cosenos, os seus valores absolutos son iguais, pero difieren nun signo, isto é cos φ ₁ = -cos φ ₂ . Se reemplazamos A, B e C polos números -A, -B e -C, respectivamente, na ecuación (0), entón a ecuación que obtemos determinará este mesmo plano, o único, φ na ecuación cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Será substituído por π-φ.

A ecuación do plano normal

Os planos son perpendiculares entre os que o ángulo é de 90 graos. Usando o material descrito anteriormente, podemos atopar a ecuación dun plano perpendicular ao outro. Supoña que temos dous planos: Ax + Boo + Cz + D = 0 e A¹x + Buy + Czz + D = 0. Podemos dicir que serán perpendiculares se cosφ = 0. Isto significa que NN¹ = AA + BB¹ + CC¹ = 0.

Ecuación dun plano paralelo

Os paralelos son dous planos que non conteñen puntos comúns.

A condición de paralelismo dos planos (as súas ecuacións son as mesmas que no parágrafo anterior) é que os vectores N e N1, que son perpendiculares a eles, son colineales. E isto significa que se cumpren as seguintes condicións de proporcionalidade:

A / A¹ = B / B¹ = C / C¹.

Se se amplían as condicións de proporcionalidade - A / A¹ = B / B¹ = C / C¹ = DD¹,

Isto indica que estes avións coinciden. Isto significa que as ecuacións Ax + Boo + Cz + D = 0 e A¹x + Bуy + Czz + D¹ = 0 describen un plano.

Distancia ao avión desde o punto

Supoña que temos un avión Π, que é dado pola ecuación (0). É necesario atopar antes a distancia do punto coas coordenadas (xₒ, yₒ, zₒ) = Q . Para iso, necesitamos reducir a ecuación do avión Π para a forma normal:

(Ρ, v) = p (p≥0).

Neste caso, ρ (x, y, z) é o vector de radio do noso punto Q situado en II, p é a lonxitude da perpendicular P que foi liberada desde o punto cero, v é o vector unitario que se atopa na dirección dun.

A diferenza ρ - ρ do vector de radio de calquera punto Q = (x, y, z) pertencente a Π, e tamén o vector de radio do punto dado Q ₀ = (xₒ, yₒ, zₒ) é un vector cuxa proxección absoluta sobre V é igual á distancia d, que debe atoparse desde Q ₀ = (xₒ, yₒ, zₒ) a Π:

D = | (ρ-ρ ⁰ , v) |, mais

(Ρ-ρ ⁰ , v) = (ρ, v) - (ρ ⁰ , v) = ρ - (ρ ⁰ , v).

Entón resulta que,

D = | (ρ0, v) -p |.

Agora vemos que para calcular a distancia d de Q ₀ ao plano II, debemos usar a forma normal da ecuación do avión, despois transferirla ao lado esquerdo da p, e substituír (xp, yp, zp) en vez de x, y, z.

Así, atopamos o valor absoluto da expresión resultante, isto é, o desexado d.

Usando o idioma dos parámetros, temos o obvio:

D = | Axₒ + Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + B² + C²).

Se o punto dado Q ₀ está no outro lado do plano II, como a orixe, entón entre o vector ρ-ρ ⁰ e v hai un ángulo obtuso, polo tanto:

D = - (ρ-ρ ⁰ , v) = (ρ0, v) -p> 0.

No caso de que o punto Q ₀ xunto coa orixe das coordenadas está situado no mesmo lado do II, entón o ángulo creado é agudo, isto é:

D = (ρ-ρ ⁰ , v) = ρ - (ρ ⁰ , v)> 0.

Como resultado, resulta que no primeiro caso (ρ0, v)> p, no segundo caso (ρ0, v)

O plano tangente ea súa ecuación

O plano tangente á superficie no punto de tangencia M0 é o plano que contén todas as tangentes posibles ás curvas atravesadas por este punto na superficie.

Con esta forma da ecuación de superficie F (x, y, z) = 0, a ecuación do plano tangente no punto tangente M0 (x, y, z0) verase así:

Fx ( _x °, yo, z0) (x - x0) + Fx (x0, y0, z0) (y - y0) + Fx (x0, y0, z0) (z-z0) = 0.

Se definimos a superficie na forma explícita z = f (x, y), entón o plano tangente será descrito pola ecuación:

Z - z0 = f (x0, y0) (x - x0) + f (x0, y0) (y - y0).

Intersección de dous planos

En espazo tridimensional sitúase o sistema de coordenadas (rectangular) Oxyz, se dan dous planos П 'e П, que se cruzan e non coinciden. Dado que calquera plano en un sistema de coordenadas rectangulares está definido por unha ecuación xeral, supoñemos que Π 'e Π "están dadas polas ecuacións A'x + B'y + C'z + D' = 0 e A" x + B "y + Con "z + D" = 0. Neste caso, temos o normal n '(A', B ', C') do avión II 'e o normal n "(A", B ", C") do avión II ". Dado que os nosos planos non son paralelos e non coinciden, estes vectores non son colineares. Usando o idioma da matemática, podemos escribir esta condición como segue: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * A", λ * B ", λ * C"), λεR. Deixa que a liña que se atopa na intersección de П 'e П "sexa denotada por a, nese caso a = П' ∩ П".

A é unha liña composta polo conxunto de todos os puntos dos planos (común) II 'e II'. Isto significa que as coordenadas de calquera punto pertencente á liña deben satisfacer simultaneamente as ecuacións A'x + B'y + C'z + D '= 0 e A "x + B" y + C "z + D" = 0. Por iso, as coordenadas do punto serán unha solución particular do seguinte sistema de ecuacións:

Como resultado, resulta que a solución (común) deste sistema de ecuacións determinará as coordenadas de cada un dos puntos da liña recta, que actuará como punto de intersección de P 'e P ", e determinará a recta a no sistema de coordenadas Oxyz (rectangular) no espazo.