Como atopar a altura dun triángulo equilátero? Fórmula localización, propiedades de altura nun triángulo equilátero

Xeometría - non é só unha disciplina escolar en que precisa para obter unha puntuación perfecta. É tamén un coñecemento que é moitas veces necesaria na vida. Por exemplo, cando a construción dunha casa cun teito alto é necesario calcular o espesor das toras eo seu número. É doado se sabe como atopar a altura dun triángulo equilátero. estruturas arquitectónicas están baseadas no coñecemento das propiedades de figuras xeométricas. As formas de edificios son moitas veces visualmente semellan eles. As pirámides exipcias, os paquetes de leite, bordados artística, pintura do norte e mesmo tortas - todos os triángulos que rodean o home. Como dixo Platón, o mundo enteiro está baseado en triángulos.

triángulo isósceles

Para facer máis claro, como será discutido a continuación, vale algo para lembrar os conceptos básicos de xeometría.

O triángulo é isósceles se ten dous lados iguais. Eles sempre chaman lado. Parte cuxo dimensións diferentes, chamados bases.

conceptos básicos

Como calquera ciencia, xeometría ten as súas propias regras e conceptos básicos. Unha morea deles. Considero só aqueles sen os cales o noso tema será un pouco incerto.

Altura - esta é unha liña recta trazada perpendicularmente ao lado contrario.

Mediano - un segmento dirixido desde cada vértice do triángulo só para o medio do lado oposto.

Bissetriz - un feixe que divide ao medio o ángulo.

Bissectriz dun triángulo - é un, ou mellor, o segmento directa bissectriz, que conecta a parte superior do lado contrario.

É importante lembrar que a bissectriz do ángulo - é ray obrigatoria e bissetriz triángulo - unha parte do feixe.

Os ángulos da base de

O teorema que os cantos están situados na base de calquera triángulo isósceles son sempre iguais. Para probar este teorema é moi sinxelo. Considero mostra un triángulo isósceles ABC, na que AB = BC. De bissetriz ABC necesario HP. Agora os dous triángulo resultante debe ser considerada. Coa condición de AB = BC, o lado de HP os triángulos en xeral, e os ángulos AED e SVD son iguais, porque VD - bissectriz. Lembrar-se do primeiro sinal de igualdade, podemos concluír con seguridade que os triángulos son considerados iguais. En consecuencia, todos os ángulos relevantes son iguais. E, por suposto, as partes, pero por que o tempo vai volver máis tarde.

A altura do triángulo isósceles

O teorema fundamental, que é unha solución en base a practicamente todas as tarefas, é: altura dentro dun triángulo equilátero é a bissectriz e mediana. Para comprender o seu sentido práctico (ou esencia) debe facer subsidio de apoio. Para iso, cortar isósceles papel triángulo. O xeito máis doado de facelo a partir dunha folla normal de notebook no cadro.

Dobre o triángulo obtendo a metade, aliñado os lados. Que pasou? Dous triángulos iguais. Agora, comproba as suposicións. Ampliar o origami resultante. Debuxar unha liña de dobraxe. Con transferidor comprobar o ángulo entre a liña de incisión e dunha base do triángulo. O que fai o ángulo de 90 graos? O feito de que a liña deseñada - perpendicular. Por definición - altura. Como atopar a altura dun triángulo equilátero, temos entendido. Agora para os cantos na parte superior. Usando a mesma verificación ángulos transferidor, agora está formado xa elevada. Son iguais. Isto significa que a altura é tanto bissectriz. Armado con unha regra, medir os segmentos en que a altura da base. Son iguais. Por conseguinte, a altura en un triángulo equilátero bissecta a base e é unha media.

a proba

axudas visuais demostra claramente a validez do teorema. Pero xeometría - a ciencia ten o suficiente, tan auto-evidente.

Durante a consideración de igualdade de ángulos na base probara triángulos iguais. Recall, WA - Mediatriz, e os triángulos AED e SVD son iguais. A conclusión foi que os dous lados correspondentes do triángulo e, por suposto, que os ángulos son iguais. Entón AD = SD. En consecuencia, WA - mediano. Resta probar que HP é alto. Con base na igualdade de triángulos consideración, verifícase que un ángulo igual ao ángulo ADD ADV. Pero estes dous ángulos son adxacentes e foron coñecidos para engadir ata 180 graos. Polo tanto, o que son? Por suposto, 90 graos. Así, a HP - é a altura nun triángulo equilátero atraídos para a base. QED.

características

• Para afrontar os retos, débese lembrar as principais características de triángulos isósceles. Eles parecen ser o teorema inverso.
• Se, no decurso de resolver o problema detectado pola igualdade de dous ángulos, iso significa que está lidando con un triángulo isósceles.
• Se vostede é incapaz de probar que a mediana é tamén a altura do triángulo, con seguridade poña - o triángulo é isósceles.
• A bissectriz é a altura, entón, con base nos principais características do triángulo referido un triángulo isósceles.
• E, por suposto, a mediana e serve como unha altura tal triángulo - isósceles.

a altura da Fórmula 1

Con todo, para a maioría das tarefas, ten que atopar o valor da altura aritmética. É por iso que nós consideramos como atopar a altura dun triángulo equilátero.

Voltar á figura anterior, ABC, no cal un - en lados - base. HP - a altura do triángulo, que ten o símbolo h.

Qué é o triángulo AED? Desde HP - alto, entón o triángulo AED - leg rectangular que quere atopar. Usando a fórmula de Pitágoras, temos:

= + AV² AD² VD²

Definindo o VD expresión e substituíndo denominacións adoptadas anteriormente, temos:

N² = a² - (A / 2) m².

Ten que eliminar o administrador:

H = √a² - V² / 4.

Se fai un ¼ do sinal de raíz, a continuación, a fórmula sería:

H = ½ √4a² - V².

Así é a altura nun triángulo equilátero. A fórmula derivada desde o Teorema de Pitágoras. Mesmo se esquecer a notación simbólica, entón, sabendo que o método de atopar, sempre pode trae-lo.

a altura da Fórmula 2

A fórmula descrita anteriormente, é a de base e máis comunmente usado na maioría dos problemas xeométricos. Pero ela non era a única. Ás veces é subministrado no canto dun determinado ángulo valor base. Cando os datos, como atopar unha altura dun triángulo equilátero? Para solucionar estes problemas, é aconsellable o uso dunha fórmula diferente:

α H = A / sin,

en que H - altura, na dirección da base,

e - unha parte lateral,

α - ángulo na base.

Se o problema é xa o ángulo no vértice, a altura dentro dun triángulo equilátero é como segue:

H = A / cos (β / 2),

en que H - altura, baixou á base ,,

β - o ángulo no vértice,

e - as partes.

triángulo isósceles dereita

propiedade moi interesante ten un triángulo, o ápice do que é igual a 90 graos. Considero un triángulo rectángulo ABC. Como nos casos anteriores, WA - altura na dirección da base.

Os ángulos da base son iguais. Calcule o seu traballo grande non vai facer:

α = (180-90) / 2.

Así, os cantos situado na base, sempre a 45 graos. Agora considere ADV triángulo. Tamén é rectangular. Atopamos a AED ángulo. Polos cálculos simples obtemos 45 graos. E, polo tanto, este triángulo non é só dereito, pero tamén un isósceles. O lados AD e VD son os lados e son iguais.

Pero o lado AD á vez é a metade da UA. Acontece que na altura dun triángulo equilátero é igual a metade da base, como se escritas en forma de fórmula, obtemos a seguinte expresión:

H = A / 2.

Non se debe esquecer que esta fórmula é só un caso especial, e pode ser usado só para os triángulos isósceles rectangulares.

O Triángulo de Ouro

Moi interesante é o triángulo dourado. Nesta figura, a razón entre o lado da base é igual ao valor, chamado o número de Fidias. Canto situadas na parte superior - 36 graos, coa base de - 72 graos. Este triángulo admirado pitagóricos. principios triángulo dourado formar a base dunha pluralidade de obras inmortais. A ben coñecida estrela de cinco puntas construído na intersección de triángulos isósceles. Para moitas obras de Leonardo da Vinci usou o principio do "triángulo dourado". Composición "Mona Lisa" baséase só nos números, que crean un pentagrama dereita.

Pintura "cubismo", unha das Pablo Pikasso funciona, vista fascinante é a base dun triángulo isósceles.