A suma dos ángulos dun triángulo. O teorema sobre a suma dos ángulos dun triángulo

O triángulo é un polígono tendo tres lados (tres ángulos). Na maioría das veces, a parte indicada por minúsculas maiúsculas, que representan vértices opostos correspondentes. Neste artigo imos dar un ollo nestes tipos de formas xeométricas, teorema que define o que é igual á suma dos ángulos dun triángulo.

Tipos maiores ángulos

Os seguintes tipos de polígono con tres vértices:

• acutângulo, na cal todos os ángulos son nítidas;
• rectangular que ten un ángulo recto, o lado formándose a, a que se refire as pernas, e ao lado que está disposto do lado oposto ao ángulo recto é chamado a hipotenusa;
• obtuso cando un ángulo obtuso ;
• isósceles, cuxos dous lados son iguais, e son chamados lateral, ea terceira - un triángulo cunha base;
• equilátero ter tres lados iguais.

propiedades

Asignar as propiedades básicas que son características de cada tipo de triángulo:

• fronte ao lado maior é sempre maior ángulo, e viceversa;
• son ángulos iguais opostas a igual maior parte, e viceversa;
• en calquera triángulo ten dous ángulos agudos;
• ángulo exterior maior que calquera ángulo cara ao interior do mesmo non adxacentes;
• a suma de calquera dous ángulos sempre inferior a 180 graos;
• ángulo externo é igual á suma dos outros dous cantos, que non son mezhuyut con el.

O teorema sobre a suma dos ángulos dun triángulo

O teorema afirma que, se sumar todos os recunchos da forma xeométrica, que está situado no plano euclidiano, entón a súa suma será 180 graos. Imos tentar probar este teorema.

Imos temos un triángulo arbitrario con vértices KMN. Na parte superior de M vai realizar un paralelo directo á liña de KN (mesmo esta liña é chamado Euclides). Débese notar o punto A de xeito que os puntos K e A son dispostos a partir de lados diferentes da liña de MN. Nós obter o mesmo ángulo de AMS e MUF, que, como o interior, atópanse a transversalmente para formar intersectando MN en conxunto con CN directa e MA, que son paralelas. Disto séguese que a suma dos ángulos do triángulo, situados nos vértices m e n é igual ao tamaño do ángulo de CMA. Os tres ángulos consistir nunha cantidade igual á suma dos ángulos de KMA e MCS. Xa que os datos son ángulos internos relativos liñas paralelas caras CL cm e MA en intersección, a súa suma é de 180 graos. Isto proba o teorema.

resultado

Os riba do teorema anterior implica o seguinte corolario: cada triángulo ten dous ángulos agudos. Para probar iso, imos supor que esta figura xeométrica ten só un ángulo agudo. Tamén pode asumir que ningún dos cantos non son nítidas. Neste caso, debe haber polo menos dous ángulos cuxa magnitude é igual ou superior a 90 graos. Pero entón a suma dos ángulos é maior que 180 graos. Pero iso non pode ser, como segundo os ángulos suma teorema dun triángulo é igual a 180 ° - nin máis, nin menos. Iso é o que tiña que ser probado.

Propiedade cantos externos

Que é a suma dos ángulos dun triángulo, que son externos? A resposta a esta pregunta pode ser obtida a través da aplicación de dous xeitos. A primeira é que ten que atopar a suma dos ángulos, que son tomadas un en cada vértice, é dicir, tres ángulos. A segunda implica que ten que atopar a suma dos seis ángulos nos vértices. Para xestionar o inicio da primeira concreción. Así, o triángulo contén seis cantos exteriores - na parte superior de cada un dos dous. Cada par ten ángulos iguais entre si, xa que son verticais:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Ademais, sábese que o canto externo dun triángulo é igual á suma dos dous interior, que non son mezhuyutsya con el. polo tanto,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

A partir diso, parece que a suma dos ángulos externos, que son levados un a un preto de cada vértice será igual a:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Dado o feito de que a suma dos ángulos é igual a 180 graos, pódese argumentar que ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Isto quere dicir que ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. A segunda opción é utilizada, a suma dos seis ángulos será correspondientemente maior dúas veces. É dicir, a suma dos ángulos dun triángulo fóra será:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

triángulo rectángulo

Que é igual á suma dos ángulos dun triángulo rectángulo, é a illa? A resposta é, de novo, do Teorema, que afirma que os ángulos dun triángulo suman 180 graos. Un son a nosa afirmación (propiedade) do seguinte xeito: nun triángulo rectángulo ángulos agudos engadir ata 90 graos. Probamos súa veracidade. Haxa dado triángulo KMN, que ∟N = 90 °. É necesario para probar que ∟K ∟M = + 90 °.

Así, segundo o teorema da suma dos ángulos ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. Nesta condición, dise que ∟N = 90 °. Acontece ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Isto é ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Iso é o que temos que probar.

Ademais das propiedades enriba dun triángulo rectángulo, pode engadila los:

• ángulos, que se atopan en contra as pernas son nítidas;
• a hipotenusa do triángulo maior que calquera das pernas;
• a suma das pernas máis que a hipotenusa;
• perna do triángulo, que se atopa fronte ao ángulo de 30 graos, a metade da hipotenusa, que é igual ao seu medio.

Como outra propiedade da forma xeométrica pode ser distinguida teorema de Pitágoras. Ela argumenta que nun triángulo cun ángulo de 90 graos (rectangulares), a suma dos cadrados dos catetos é igual ao cadrado da hipotenusa.

A suma dos ángulos dun triángulo isósceles

Anteriormente comentamos que un triángulo isósceles é un polígono con tres vértices, contendo dous lados iguais. Esta propiedade é coñecida figura xeométrica: os ángulos na súa base igual. Imos probar iso.

Leve o triángulo KMN, que é isósceles, SC - a súa base. Estamos obrigados a demostrar que ∟K = ∟N. Entón, imos supor que MA - KMN é a bissectriz do noso triángulo. ICA triángulo co primeiro sinal de igualdade é triángulo MNA. En particular, por hipótese xa que CM = NM, MA é un lado común, ∟1 = ∟2 porque MA - este bissectriz. Usando a igualdade dos dous triángulos, pódese argumentar que ∟K = ∟N. Así, o teorema está probado.

Pero estamos interesados en que é a suma dos ángulos dun triángulo (isósceles). Debido a este respecto non ten as súas características, imos comezar a partir do teorema discutido anteriormente. É dicir, podemos dicir que ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, ou 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (como ∟K = ∟N). Iso non vai probar a propiedade, como o teorema sobre a suma dos ángulos dun triángulo se probou anteriormente.

Agás as propiedades consideradas dos cantos dun triángulo, tamén existen tales consideracións importantes:

• en altura triángulo equilátero, que fora reducido á base, é, á vez, a bissectriz medio do ángulo que se sitúa entre os dous lados iguais e eixe de simetría da súa base;
• mediano (bissectriz, altitude), que son realizadas para os lados dunha figura xeométrica, coinciden.

triángulo equilátero

É tamén chamado de dereita, é o triángulo, que son iguais para todas as partes. E, polo tanto, tamén igual e ángulos. Cada un deles é de 60 graos. Imos probar esa propiedade.

Supoñamos que temos un triángulo KMN. Sabemos que KM = HM = KH. Isto quere dicir que, de acordo co establecemento dos ángulos situados na base dun triángulo equilátero ∟K = ∟M = ∟N. Xa que, segundo a suma dos ángulos dun triángulo Teorema ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, entón x 3 = 180 ° ∟K ou ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Así, a afirmación é comprobada. Como se pode ver a partir da evidencia anterior baseado no teorema anterior, a suma dos ángulos dun triángulo equilátero, como a suma dos ángulos de calquera outro triángulo é de 180 graos. Unha vez máis demostrando este teorema non é necesario.

Existen aínda algunhas propiedades características dun triángulo equilátero:

• altura mediana bissector nunha figura xeométrica idéntica, ea súa lonxitude é calculado como (ax √3): 2;
• se este polígono que circunscríbese o círculo, a continuación, o raio pode ser igual a (x un √3): 3;
• se inscribe nun triángulo equilátero círculo, o raio sería (un x √3): 6;
• área da figura xeométrica é calculada pola fórmula: (A2 x √3): 4.

triángulo obtuso

Por definición, un triángulo obtuso-angular, un dos seus recunchos está entre 90 a 180 graos. Pero dado o feito de que os outros dous ángulos da forma xeométrica afiada, pódese concluír que non excedan 90 graos. Polo tanto, a suma dos ángulos dun teorema do triángulo funciona no cálculo da suma dos ángulos dun triángulo obtuso. Así, podemos dicir con seguridade, baseado no teorema anterior que a suma dos ángulos obtusos dun triángulo é 180 graos. Unha vez máis, este teorema non ten re-proba.