Regra de Cramer ea súa aplicación

regra de Cramer - é un dos métodos exactos para a resolución de sistemas de ecuacións alxébricas lineares (Slough). A súa precisión debido ao uso dos determinantes da matriz do sistema, así como algunhas das restricións impostas na proba do teorema.

Un sistema de ecuacións alxébricas lineares con coeficientes pertencentes a, por exemplo, unha pluralidade de R - números reais de incógnitas x1, x2, ..., xn é unha colección de expresións

ai2 x1 x2 + AI2 + ... ain xn = bi, con i = 1, 2, ..., m, (1)

onde AIJ, bi - números reais. Cada unha destas expresións chámase unha ecuación lineal, AIJ - coeficientes das incógnitas, bi - coeficientes independentes de ecuacións.

solución de (1) a que se refire a n-dimensional vector x ° = (x 1 °, x2 °, ..., xn °), en que a substitución do sistema para o incógnitas x1, x2, ..., xn, cada unha das liñas do sistema torna-se mellor ecuación .

O sistema chámase consistente se ten, polo menos, unha solución, e inconsistentes, se coincide co conxunto solución do conxunto baleiro.

Debe lembrar que, a fin de atopar solucións para os sistemas de ecuacións lineais empregando o método de Cramer, sistemas de matriz teñen que ser cadrada, o que significa basicamente o mesmo número de mostras descoñecidas e ecuacións do sistema.

Así, para usar o método de Cramer, ten que polo menos saber o que a Matrix é un sistema de ecuacións alxébricas lineares, e que se emite. E en segundo lugar, para comprender o que se chama o determinante da matriz e as súas propias habilidades de computación.

Imos asumir que este coñecemento que posúe. Marabilloso! Entón tes que memorizar fórmulas que determinan método de Kramer. Para simplificar a memorización usar a seguinte notación:

• Det - a principal determinante da matriz do sistema;

• Deti - é a determinante da matriz obtida a partir da matriz principal do sistema, substituíndo i-ésima columna da matriz para un vector de columna cuxos elementos son os lados dereito das ecuacións alxébricas lineares;

• no número de incógnitas e ecuacións no sistema.

Logo de Cramer computación regra de orde i XI compoñente (i = 1, .. n) n-dimensional vector x pode ser escrito como

XI = Deti / Det, (2).

Neste caso, Det estrictamente distinto de cero.

A unicidade da solución do sistema cando se inclúe xunto coa condición de desigualdade principal determinante do sistema a cero. En caso contrario, se a suma de (XI), cadrado, estrictamente positivo, entón slae dunha matriz cadrada é inviábel. Isto pode ocorrer en particular cando, polo menos, unha de distinto de cero Deti.

Exemplo 1. Para resolver o sistema LAU tridimensional mediante a fórmula de Cramer.
2 x1 x2 + x3 + = 31 4,
5 X1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Decisión. Anotamos a matriz da liña de sistema por liña, onde Ai - é a liña I de matriz.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Columna coeficientes libres b = (31 29 10).

O sistema principal é a Det determinante
Det = A11 A22 A33 A12 A23 A31 + + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

Para calcular a intercambio DET1 usando A11 = B1, B2 = a21, a31 = B3. logo
DET1 = B1 A22 A33 + A12 A23 B3 + a31 B2 a32 - a13 A22 B3 - B1 a32 A23 - A33 B2 A12 = ... = -81.

Do mesmo xeito, para calcular DET2 uso substitución A12 = B1, B2 = A22, a32 = B3, e, polo tanto, para calcular det3 - a13 = B1, B2 = A23, A33 = B3.
Logo, pode comprobar que DET2 = -108, e det3 = - 135.
Segundo as fórmulas Cramer atopar x1 = -81 / (- 27) = 3, X 2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Resposta: X ° = (3,4,5).

Baseándose na aplicabilidade desta norma xeral, o método de Kramer sistemas de ecuacións lineares resolver se pode usar indirectamente, por exemplo, para investigar o sistema sobre o posible número de solucións, dependendo do valor dun parámetro k.

Exemplo 2. Para determinar en que valores do k desigualdade parámetro | KX - y - 4 | + | x + KY + 4 | <= 0 ten exactamente unha solución.

Decisión.
Esta desigualdade, pola definición da función módulo pode ser realizada só se ambas expresións son cero simultaneamente. Polo tanto, este problema é reducida para atopar a solución de ecuacións alxébricas lineares

KX - y = 4,
x + KY = -4.

A solución a este sistema só se é o principal determinante do
Det = k ^ {2} + 1 é distinto de cero. Claro que esta condición é satisfeita para todos os valores reais do parámetro k.

Resposta: para todos os valores reais do parámetro k.

Os obxectivos deste tipo pode ser reducido moitos problemas prácticos no campo da matemática, física ou química.